Ah les plaisirs de la théorie des corps finis. Vous auriez dû commencer par quelques rappels mathématiques, Mael :smile:
En gros, on définit un ensemble GF(p) = {0, 1, 2, ..., p-1} et deux opérations + et x (leurs inverses soustraction et division s'en déduisent) et on fait des tables d'addition et de multiplication qui respectent toutes les bonnes propriétés (associativité, distributivité, ... - pas besoin de se prendre la tête, ce sont les propriétés que l'on applique quand on fait des calculs sans forcément savoir que ça s'appelle comme ça).
Et c'est strictement interdit de sortir de l'ensemble, hein ! ( le 3 n'existe pas dans GF(2) ! )
Après, il faut se rappeler qu'en maths, les nombres sont des symboles bien pratiques, mais rien n'empêche de les remplacer par des chattes et des cochons (des gros, hein), des Doms et des soumises, enfin, tout ce que l'on veut tant que l'on respecte les règles d'associativité, distributivité, élément neutre, ...
Avec la multiplication, c'est encore plus amusant qu'avec l'addition...
Table de multiplication dans GF(4)
x 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 3 1
3 0 3 1 2
2x3 = 1 2x2 = 3 3x3 = 2 ... Inhabituel, et pourtant cette table respecte toutes les bonnes propriétés. Je vous laisse remplacer 0, 1, 2, 3 par ce que vous voulez. Je vous donne la table d'addition dans GF(4) tant que l'on y est:
Table d'addition dans GF(4)
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 0 3 2
2 2 3 0 1
3 3 2 1 0
Sinon, pour l'aspect un peu plus sérieux, la grosse difficulté dans un ensemble fini est de définir une table de multiplication qui respecte toutes les bonne propriétés. Même pour une petite table de multiplication comme celle que j'ai donnée, si on cherche au hasard quoi mettre dans les cases, cela prend un peu de temps pour trouver la solution. Si on a une grande table (par exemple, dans le domaine des télécoms ou de la cryptographie, on travaille couramment dans GF(256), voire plus), il faut une méthode pour ne pas y passer des siècles à trouver une table qui marche, et c'est là que Galois a apporté des avancées majeures.
En gros, on définit un ensemble GF(p) = {0, 1, 2, ..., p-1} et deux opérations + et x (leurs inverses soustraction et division s'en déduisent) et on fait des tables d'addition et de multiplication qui respectent toutes les bonnes propriétés (associativité, distributivité, ... - pas besoin de se prendre la tête, ce sont les propriétés que l'on applique quand on fait des calculs sans forcément savoir que ça s'appelle comme ça).
Et c'est strictement interdit de sortir de l'ensemble, hein ! ( le 3 n'existe pas dans GF(2) ! )
Après, il faut se rappeler qu'en maths, les nombres sont des symboles bien pratiques, mais rien n'empêche de les remplacer par des chattes et des cochons (des gros, hein), des Doms et des soumises, enfin, tout ce que l'on veut tant que l'on respecte les règles d'associativité, distributivité, élément neutre, ...
Avec la multiplication, c'est encore plus amusant qu'avec l'addition...
Table de multiplication dans GF(4)
x 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 3 1
3 0 3 1 2
2x3 = 1 2x2 = 3 3x3 = 2 ... Inhabituel, et pourtant cette table respecte toutes les bonnes propriétés. Je vous laisse remplacer 0, 1, 2, 3 par ce que vous voulez. Je vous donne la table d'addition dans GF(4) tant que l'on y est:
Table d'addition dans GF(4)
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 0 3 2
2 2 3 0 1
3 3 2 1 0
Sinon, pour l'aspect un peu plus sérieux, la grosse difficulté dans un ensemble fini est de définir une table de multiplication qui respecte toutes les bonne propriétés. Même pour une petite table de multiplication comme celle que j'ai donnée, si on cherche au hasard quoi mettre dans les cases, cela prend un peu de temps pour trouver la solution. Si on a une grande table (par exemple, dans le domaine des télécoms ou de la cryptographie, on travaille couramment dans GF(256), voire plus), il faut une méthode pour ne pas y passer des siècles à trouver une table qui marche, et c'est là que Galois a apporté des avancées majeures.
Dernière modification le 04/08/2023 06:50:32 par sylvie35.
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